Мужская фамилия Король склоняется так же, как и соответствующее нарицательное существительное (Короля, Королю и т. д.). Женская фамилия не склоняется.
Принципиальной разницы нет.
Название Оха склоняется. Верно: в городе Охе.
Верно: в городе Гатчине. См. "Горячие вопросы".
Правильно: в городе Шахты, в городе Зверево. Географические названия в сочетании с родовым словом не склоняются, если внешняя форма названия соответствует форме мн. числа. Топонимы славянского происхождения, оканчивающиеся на -ово, -ево, -ино, -ыно, не склоняются в сочетании с родовым словом.
Правильно: в городе Одессе; предприниматель Иванова, действующий на основании...
Если речь идет об объединении детей, верно: о лиге детей. Если речь идет о собственном наименовании организации - "Лиге детей". Лучше: по дороге (во время пути).
См. в «Письмовнике».
Верен первый вариант. См. в «Письмовнике».