Правильность - вопрос соответствия исторически сложившимся нормам литературного языка. Первый вариант грамматической норме современного русского литературного языка соответствует.
Правильно: класть, положить.
Такой оборот речи - профессионализм. Его употребление нежелательно.
Ударение на втором слоге: отжим.
Сочетание необычное, но оценивать его как корректное или некоррекное весьма сложно: ни замысел автора, ни контекст, ни стилистические особенности текста не известны.
В русском литературном языке видовая пара несовершенного вида к глаголу залезть — залезать.
В непринужденной разговорной речи такое употребление можно допустить.
Сделать прививку, укол – нейтральный, общеупотребительный вариант. Поставить прививку, укол – профессионализм, характерный для речи медиков.
