Географические названия на -ов (-ев), -ово (-ево), -ин, -ино (-ыно) имеют в творительном падеже окончание -ом: Мышкин – Мышкином, Камышин – Камышином, Алексин – Алексином. В отличие от названий городов русские фамилии на -ин (-ын) и на -ов (-ев) имеют в творительном падеже единственного числа окончание -ым, ср.: Алексин (фамилия) – Алексиным и Алексин (город) – Алексином.
Правильно: под подпись. О словах подпись и роспись см. в «Словаре трудностей».
Для ответа нужен более широкий контекст.
Так как второй гласный безударен, то он представляет собой звук /и/.
Это нарицательное существительное, обозначающее вид спорта и оканчивающееся на твердый нешипящий согласный. Значит, при освоении его русским языком оно попадает в группу слов типа футбол, бадминтон и склоняется как существительное мужского рода 2-го склонения.
Если имеется в виду 'больше, чем человек, находящийся под веномом', то правильно.
В «Морфемно-орфографическом словаре» А. Н. Тихонова (М., 2002) в этом слове выделен корень подъём-.
Слово луна не употребляется здесь в терминологическом значении, поэтому пишется строчными: ничто не вечно под луной.
