Корректно (в разг. речи): на минувшей неделе.
При обозначении арабскими цифрами порядковых числительных буквенные наращения необходимы (на 35–36-й неделе), при обозначении арабскими цифрами количественных числительных буквенные наращения не нужны (с 37 недель). Подробнее см. в "Письмовнике".
Возможны все три варианта, для более точного ответа нам нужно знать контекст.
Правильно написать без кавычек и со строчной буквы.
При существительных женского рода, зависящих от числительных два, три, четыре, определение, находящееся между числительным и существительным, чаще стоит в форме именительного падежа множественного числа: четыре разные истории.
Возможны варианты в зависимости от условий контекста. См.: http://www.gramota.ru/spravka/letters/?rub=bolshinstvo
Через неделю = по истечении семи дней. На следующей неделе = в один из дней следующей недели.
Да, допустима.