Корректна форма единственного числа: Руководители подразделений библиотечного и культурно-досугового типа.
Пунктуация зависит от значения слов в общем в данном случае. Подробнее см. в "Справочнике по пунктуации".
Запятая перед и нужна.
Верно: лучи типа А и B.
В слове брыкаться ударение всегда падает на а: сиди и не брыкАйся.