Выбор глагола зависит от строя предложения и смысла.
Правильно: Русское географическое общество (но в составе географического названия: хребет Русского Географического Общества).
Если название указывается с родовым словом (акционерное общество "Национальный негосударственный пенсионный фонд"), то ориентироваться следует на родовое слово общество, например: акционерное общество "Национальный негосударственный пенсионный фонд" заработало за 2015 год...
Основным значением форм мн. числа считаемых существительных является обозначение реальной расчлененной множественности предметов, противопоставленное их единичности: дома, медведи, глаголы и т. д. Кроме того, формы множественного числа могут обозначать абстрактное множество. Такое значение в частности имеют управляемые существительные в словосочетаниях, где в роли главного слова выступают существительные с количественным значением: тысяча градусов, миллион градусов, ноль градусов и т. п. Ср.: ноль процентов, ноль баллов, ноль целых и т. п. Существительные в род. падеж мн. числа в этих словосочетаниях обозначают единицы измерения, которые мыслятся как совокупность некого абстрактного множества.
Верно со строчной буквы: ценности российского общества. Но: Российское общество историков медицины (название организации).
Правильно: открытому акционерному обществу «Племенной завод "Такой-то"».
Возможен первый вариант, но лучше перестроить фразу, например: принадлежность объектов права обществу.
