Это и правда непростой случай (написание наречий часто вызывает затруднения у пишущих). Правило сформулировано так: пишутся слитно наречия с пространственным и временным значением, имеющие в своем составе существительные верх, низ, перед, зад, бок, высь, глубь, даль, близь, ширь, век, начало. Но возникает проблема различения слитно пишущихся наречий и совпадающих с ними в буквенном составе, но пишущихся раздельно сочетаний предлогов с другими словами. При этом слитное написание возможно и при наличии пояснительных слов (вверху письма, внизу двери). Так что это не главный критерий, существенную роль играет контекст.

Что касается пары в начале – вначале: если слово отвечает на вопрос «когда», если его можно заменить наречиями сначала, сперва, значит, перед нами наречие, надо писать слитно. И здесь приведенные Вами фразы ведут себя по-разному. Можно сказать «сначала у нас было много неподготовленных атак», «сперва у нас было много неподготовленных атак», но вряд ли можно сказать «0:2 сначала – тяжелый удар», «0:2 сперва – тяжелый удар». Поэтому мы согласны с Вами: в первом примере корректно раздельное написание (т. к. имеется в виду «0:2 в начале матча», хоть слово «матча» и опущено), а во втором примере – слитное (здесь именно наречие вначале).

Корректны оба варианта, однако более употребителен второй: Глаза мои пусты, слезы не проронить.  

Предпочтительный вариант: назначили Слизеня.

Если пришпилены головы, то пришпиленных. Если пришпилены рисунки, то пришпиленные.

Как ни странно, прилагательное близкий - непроизводное (исходное), поэтому к- - это часть корня. Существительное близь ("то, что близко") - производное, образовано от прилагательного с усечением основы. С прочими приведенными Вами примерами такая же ситуация.

Связь бывает и междугородней (междугородной), и международной. Варианты междугородний и междугородный равноправны.

Оба варианта имеют право на существование.

Правильно: слезы навернулись на глаза.