Первое. Если речь именно о названии населенного пункта, а не о названии острова, то корректно написание обеих частей названия с прописной буквы: Попов Остров.
И второе. Склонять следует обе части названия: порт Попова Острова.
Справочные пособия рекомендуют согласовывать с родовыми наименованиями названия озер и островов, выраженные полными именами прилагательными. См. «Справочник по правописанию и литературной правке» Д. Э. Розенталя (раздел «Согласование определений и приложений», параграф «Приложения – географические названия») и «Словарь географических названий» А. В. Суперанской (М., 2012).
Правильно: стрелка Васильевского острова.
Правильно: остров Короля Георга.
Кавычки нужны: отдел «Остров детства».
При обозначении адреса верно: 1-я линия В. О. и 1-я линия Васильевского острова.
Предпочтительно: Остров, которого не видят туристы.
Корректно: парк "Лосиный Остров".
Если речь идет о названии фильма Мартина Скорсезе, снятого по одноимённому роману Денниса Лихэйна, то правильно: «Остров про́клятых».
