Справочные пособия рекомендуют согласовывать с родовыми наименованиями названия озер и островов, выраженные полными именами прилагательными. См. «Справочник по правописанию и литературной правке» Д. Э. Розенталя (раздел «Согласование определений и приложений», параграф «Приложения – географические названия») и «Словарь географических названий» А. В. Суперанской (М., 2012).

Правильно: стрелка Васильевского острова.

Правильно: остров Короля Георга.

Первое. Если речь именно о названии населенного пункта, а не о названии острова, то корректно написание обеих частей названия с прописной буквы: Попов Остров.

И второе. Склонять следует обе части названия: порт Попова Острова.

Кавычки нужны: отдел «Остров детства».

При обозначении адреса верно: 1-я линия В. О. и 1-я линия Васильевского острова.

Предпочтительно: Остров, которого не видят туристы.