Как мы можем судить по найденным в Сети контекстам, психологами используются термины: ведущая рука, неведущая рука.
Нет, этот оборот не нужно заключать в кавычки.
Вы написали это сочетание правильно: не с руки.
Причастие раненный в данном случае нужно писать с удвоенной Н.
Предложение построено неудачно, так как может быть воспринято буквально. Можно вставить в предложение имя: Пока Иван Иванович, правая рука начальника, встречал гостей...
Устойчивый оборот: не покладая (чего?) рук. Рук - форма мн. ч. род. п.
Расстановка знаков препинания зависит от смысла и интонации. Можно написать без знаков препинания. Однако слова на этот раз уже его дома могут выступать в роли присоединительного члена предложения (который содержит добавочное сообщение), тогда перед ними следует поставить тире.
Оба варианта верны. Выбор делает автор текста.