Эти слова пишутся строчными буквами.
Правильно произношение мис[тэ]р.
Согласно грамматическим нормам русского языка, мужская фамилия Дихтяр должна склоняться (в отличие от женской фамилии).
Кавычки не нужны, однако все слова в таких прозвищах пишутся с большой буквы.