Корректно: И не мешкая отправляйте рисунок на конкурс. Деепричастие не выделяется запятыми, так как оно близко по значению к наречию (не мешкая = немедленно, быстро).
Лучше без запятой.
Корректно: деятели культуры и искусства.
Необходимо двоеточие: Он был твердо убежден: рисунок должен взывать больше к эмоциям, чем к разуму. Двоеточие ставится в бессоюзном сложном предложении, если вторая часть имеет изъяснительное значение (между частями предложения можно вставить слово что).