Верно: не возражать против подключения.
Словари фиксируют варианты сочетаемости: бороться с чем, бороться против чего. Аналогично: борьба с чем и против чего. Но все же более употребительно: борьба со злом.
Такая форма существует.
Верно: не возражаю против.
Оба варианта верны.
Да, соответствует.
Можно обратиться в Институт русского языка им. В. В. Виноградова РАН: www.ruslang.ru