Являются ли выражения «по теореме», «про признаку» и т.п. вводными? Нужно ли их обособлять запятыми?

Здравствуйте. В середине октября 2024 г. обратилась к услугам вашего сайта, чтобы наглядно представить своим ученикам правильное склонение по падежам слова (как я громогласно объявила своим ребятам) простынЯ, а не простынЬ. И что же я обнаруживаю на странице Грамоты: про́стынь Существительное, женский род, 3-е склонение Падеж единственное число множественное число именительный про́стынь про́стыни родительный про́стыни про́стыней дательный про́стыни про́стыням винительный про́стынь про́стыни творительный про́стынью про́стынями предложный про́стыни про́стынях Большой толковый словарь русского языка разговорное простыня В этот же день справочной службе задаю вопрос: " Это правда?" Ответа нет, возможно, оформила не в том окне. Ребят попросила подождать, сказала, что отправлю на ваш сайт вопрос. Сегодня обнаруживаю в ответе справочной службы другому клиенту следующее: ПРОСТЫНЯ Существительное, женский род, 1-е склонение и Большой толковый словарь русского языка разговорное простынь. ?

Есть ли какое-либо смысловое различие между предлогами «о» и «про»? Фильмы о войне или фильмы про войну? Песня о любви или песня про любовь?

"по" или "при"? как правильно употреблять эти приставки? например: при необходимости составить новые .... или по необходимости составить новые ... ?

Как правильно писать? Какое правило применимо? «Рассказал тысяче клиентам про…» Или «Рассказал тысяче клиентов про…».