Если это обращение к президенту страны в официальном документе, то нужна прописная буква. В остальных случаях достаточно строчной.
См. в «Горячей десятке вопросов».
Правильно с Е.
Да, фамилия склоняется: визит Барака Обамы, встреча с Бараком Обамой.