Верно только: подпасть под обаяние.
Правильно: семь футов под килем.
Верно: под подпись. См. в «Словаре трудностей».
Правильно: пол-Кавказа. Пол... (половина) присоединяется дефисом к слову, которое пишется с большой буквы.
См. здесь.
Правильно с окончанием -ом: под Царицыном.