Первый вариант предпочтителен.
Трудно дать однозначный ответ, не зная контекста. Если это прозвище доктора, которое функционирует как имя (в том числе, например, имя персонажа художественного произведения), правильно писать оба слова с прописных, например: «Вот и всё», — сказал Умелые Руки, закончив перевязку. Если же речь о том, что доктор умелец, корректно строчными, например: Василий у нас доктор «умелые руки», советую к нему обратиться. Ср. также: доктор у нас умелые руки.
Можно и передать эстафету (это делает тот, кто отдает эстафетную палочку) и перенять (это делает тот, кто ее принимает).
Глагол заключается может выступать как синоним связочного глагола быть.
По общим правилам склонения фамилий изменяется окончание второй части: Луки Кавалли-Сфорцы, Лукой Кавалли-Сфорцей и т. д.
В значении 'отделенный' верны оба варианта. Обрезанный может означать также 'укороченный'.
Правильно: вцепился в руку.
Склонять нужно только мужскую фамилию.
