Правильно: в Государственной... академии.
Предпочтительно: государственный советник Мария Гайдар утверждала.
Возможны оба варианта. Выбор формы множественного числа объясняется логически, а форму единственного числа используют для указания на общность объектов (в этом случае часто в предложении употребляются и обобщающие слова).
Не в начале предложения правильно со строчной: федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение...
Такого государственного документа нет.
Правильно: Московский государственный ансамбль танца «Русские сезоны».
Нет, в официальных документах с прописной принято писать наименования Государственный герб РФ, Государственный гимн РФ, Государственный флаг РФ. К символам иных государств (в том числе и СССР) это не относится.
Правильно написание с прописной.
