Нужно повторить, чтобы было понятно, что начальное число - это тысячи, миллионы, миллиарды.
Можно перефразировать: по команде каждый из трехсот пятидесяти молодых лейтенантов... и дальше в ед. числе.
Устойчивый оборот: не покладая (чего?) рук. Рук - форма мн. ч. род. п.
Союзом с быть не может. Согласно «Словарю наречий и служебных слов русского языка» В. В. Бурцевой (М., 2005), с рук – наречие. Оно образовано из предложно-падежной формы (предлог с и существительное рук).