Если капусту квасили отдельно, а потом добавили свеклу, то верно: квашеная капуста со свеклой.
Знаки препинания расставлены правильно.
Эта фамилия склоняется так же, как и соответствующее нарицательное существительное: Куницы, Кунице, Куницу, Куницей, о Кунице.
Если капуста тушилась отдельно от грибов, то Вы написали верно. Если капуста и грибы тушились вместе, то верно: капуста, тушенная с грибами.