С исторической точки зрения слова покупка и купец восходят к одному и тому же корню, однако в современном русском языке они однокоренными не считаются.
Верно: стартап-проект.
Супер... - приставка, пишется слитно. Правильно: супермама, супершоколад, суперконфета.
Приставка супер... пишется слитно: суперистребитель.
Верно слитное написание: суперучебник.
Название должно писаться так: "На старт". Пойдем в "На старт". В разговорной речи, конечно, предлог исчезнет: пойдем в "Старт", пойдем на "Старт".
Правильно слитное написание: суперпремиум.
Приставка супер... пишется слитно (например: суперсобытие). Но если вторая часть слова содержит дефис (онлайн-событие), то слитное написание заменяется дефисным и возникает написание с двумя дефисами: супер-онлайн-событие.