Верно: стартап-проект.
Правильно слитное написание.
Приставка супер... пишется слитно: суперистребитель.
Название должно писаться так: "На старт". Пойдем в "На старт". В разговорной речи, конечно, предлог исчезнет: пойдем в "Старт", пойдем на "Старт".
Правильно слитное написание: суперпремиум.
Ваше замечание справедливо. Начать старт – ошибочное сочетание.
Верно дефисное написание (в значении "сдвигающиеся двери") или раздельное (в значении "двери помещения в вагоне").
Корректно: суперсобака. См. словарную рекомендацию.
Приставка супер... пишется слитно (например: суперсобытие). Но если вторая часть слова содержит дефис (онлайн-событие), то слитное написание заменяется дефисным и возникает написание с двумя дефисами: супер-онлайн-событие.