Правильнее: в августе и сентябре (без слова месяц).
Если имеется в виду, что класс состоял из 30 человек, верно: в нашем классе было 30 человек.
Знаки препинания, включая запятую и тире в неполном предложении, расставлены верно.
Тире нужно.
Если имеется в виду значение "задний план", то верно просто: фон.