См. в «Справочнике по пунктуации».
В значении 'завершение чего-л.' варианты равноправны.
Верно: ...начало XX века.
Корректен вариант без тире. Остальное верно.
Правильно: терпению.
На худой конец – в крайнем случае.
Правильно: Республика Корея.
Да, в языке есть много устойчивых слов, выражений, названий, неправильных с точки зрения науки, политики, дипломатии... Традиция в языке часто оказывается сильнее терминологической точности. То же касается и названий государств: в обиходной устной и письменной речи мы по-прежнему употребляем названия Южная Корея (хотя в официальных документах будет только Республика Корея), Белоруссия (хотя официальное название Республика Беларусь), Молдавия (хотя официально: Республика Молдова) и т. д.