Республика пишется с прописной только в официальных названиях государств. В значении 'форма правления' верно написание со строчной: провозгласить республику, движение за республику. Впрочем, в контекстах, где слову республика придается особый высокий смысл (например, в лозунге Да здравствует республика!), возможно и написание с прописной.
Названия республик мужского рода несклоняемы в функции приложения. Верно: из Республики Маврикий.
См. ответ на вопрос № 265817.
Лучше: агентство Казани.
Правильно: Губернатор Республики Хакасия.
Принято не склонять слово Германия в этом сочетании.
Слово республика в данном случае пишется со строчной буквы. Написание с прописной правильно в полном официальном названии государства. Ср.: он занимал пост министра финансов и экономики страны.
Оба сочетания возможны. Чтобы дать точный ответ, нужно знать контекст.
Корректнее говорить о туристическом агентстве.