Верно: час че.
Это сочетание не закреплено словарями, но оно подпадает под следующее правило: пишутся раздельно наречные сочетания (два или более), в которых опорное существительное употребляется в разных предложно-падежных формах. Ср.: пошел в занос, вывести из заноса, при заносе сбросьте газ. Поэтому корректно раздельное написание. Кавычки не нужны.
См. ответ 201811.
См. ответ на вопрос № 281220.
Обе формы родительного падежа имеют право на существование в подобных конструкциях.
Допустимы оба варианта: попить чая, попить чаю. Второй вариант более употребим в разговорной речи.
Приведенные Вами выражения могут встречаться в разговорной речи, но неуместны за ее пределами. Есть употребительное выражение пустой чай. Приведем пример: Ничто не предвещало бедствия, когда, заночевав у Гали после небольшой попойки, я пил пустой чай у нее в комнате (Ю. М. Нагибин).