Допустимо: сам себе не друг.
Верно раздельное написание.
Возможны оба варианта: в первом случае имеется в виду сравнение, во втором – уподобление.
Выберите четвертый вариант.
Допустимо и слитное, и раздельное написание.
Правильно: Давай будем писать друг другу письма.
Сочетание большой друг корректно, оно употребляется в русском языке, например: Это Борис Андреевич, мой большой, большой друг. И. Ефремов, Бухта радужных струй. Мой большой друг – английский посол в Неаполе лорд Гамильтон – попечительствует обо мне. Э. Радзинский, Княжна Тараканова. Однако характерно это сочетание скорее для книжной речи и публицистических текстов (ср. устойчивое выражение советской эпохи: большой друг Советского Союза), нежели для разговорной речи.
Вы правы, исходный вариант фразы требует доработки.
