Устойчивое выражение нет пророка в своем отечестве означает, что заслуги своих близких людей, соотечественников люди часто не ценят, отдавая предпочтение авторитетам со стороны.
Правильно: промок под дождем.
Да, это ошибка.
Бытовые названия (сморчки, подберезовики, подосиновики и т. п.) пишутся со строчной буквы.
Да, именно так. Мужская фамилия Дробот склоняется, женская – нет.
Нарицательное наименование пишется строчными, собственное - с прописных букв. Пожалуйста, уточните, как употребляется это наименование в Вашем случае.