Верно без предлога: управление реализацией.
Грамматически верно: по вопросам, утвержденным постановлением...
В названиях министерств с прописной буквы пишется только первое слово и входящие в состав названия имена собственные, поэтому, если бы такое министерство в нашей стране существовало, оно бы называлось Министерство питания Российской Федерации.
Сокращенное наименование пишется с той же буквы, что и полное (Министерство природных ресурсов, далее - Министерство).
Корректен первый вариант, если под положением понимается свод правил.