Верно: Я был на озере Байкал. Названия озер не склоняются в сочетании с родовым словом озеро. Исключение составляют случаи, когда топоним выражен прилагательным: на Онежском озере.
Корректно: в городе Иркутске, на озере Титикака.
Да, оба эти слова пишутся с прописной (большой) буквы при таком употреблении.
Да, это географическое название склоняется.
Название Титикака склоняется, если употребляется без родового слова (озеро): на Титикаке. Но: на озере Титикака.
Правильно без кавычек: бухта Богородское Озеро и т. д.
Вы правы, здесь нет оснований писать пекинский с большой буквы.
Если нет слова озеро, название склоняется: на берегах Иссык-Куля.
Местные жители говорят только на Тургояке́. Так как, по их мнению, ударение в некоторых татаро-башкирских топонимах второго склонения, где оно в именительном падеже стоит на последнем слоге (Чебарку́ль, Кисега́ч, Тургоя́к, Караба́ш, Аргая́ш), при употреблении этих топонимов в косвенных падежах должно смещаться на окончание: под Чебаркулём, с Кисегача́, в Карабаше́, на Тургояке́, из Аргаяша́. Такого же мнения придерживается и "Словарь собственных имён".