Лучше использовать прилагательное: при доказанной высокой эффективности...
Интересующее Вас слово/словосочетание не зафиксировано нормативными словарями. Да и сама по себе разумность его употребления вызывает некоторые сомнения. Известно, что слово высоковежливый единожды использовал Ф. М. Достоевский: Резкий, хотя и высоковежливый и деликатный, ответ Князя выводит ее из себя. Однако употреблять его вне этой цитаты мы бы не рекомендовали.
Корректно: заслужили доверие.
Лучше: весьма востребованный, очень востребованный, крайне востребованный.
Задайте поиск в электронных словарях портала по начальным формам слов: дружный, верный и т. д.
Сложные слова с первой частью высоко- или низко- пишутся слитно. Дефис применяется при записи конструкций с однородными членами, имеющими общий конечный элемент, если все члены, кроме последнего, представлены только начальными элементами; такой дефис называют «висячим».
Верно: высоко- и низкоактивные.
Межличностные отношения фиксированы на определенной цели, опосредованы. Динамический, волевой компоненты минимизированы. Деятельность регламентирована.
