Выражение не очень удачное.
Сочетание дама сердца не требует постановки кавычек.
Можно считать этот оборот метафорой.
Кавычки не нужны. Значение 'главная часть чего-л.' зафиксирована в словаре.
Нет, правильно: ему была проведена (сделана) операция на сердце.