Вы правы. Верное написание: Под небом августа, похожим на эмаль. Похожим – форма творительного падежа (под небом каким?), похожем – форма предложного падежа (о небе каком?).
Англ. casual буквально означает "обиходный, повседневный стиль".
Правильно без кавычек: стиль кантри.