Верно: переселение 6971 человека, проживающего в 586 многоквартирных домах.
Да, такой вариант чтения верен.
Можно сказать: осложнения родов, при родах.
Оба варианта верны.
Правильно: казашка.
Да, склонение мужской фамилии Бочай обязательно. Женская фамилия не склоняется.