Правильно: на Украине. См. «Словарь трудностей».
Если смысл заголовка - "играть мастерски", то запятую ставить не следует.
См. в «Словаре трудностей»: Бильярд.
См. «Словарь трудностей».
В некоторых значениях это переходный глагол: играть роль, играть первую скрипку и т. д.
Правильно: с Садовским. О правилах употребления предлогов типа с и со можно прочитать в «Письмовнике».
Вы правы. Сочетание играть первую скрипку корректно и зафиксировано словарями – как современным «Большим толковым словарем русского языка», так и, например, «Толковым словарем русского языка» под ред. Д. Н. Ушакова (1935–1940).
Глагол играться в русском языке есть, но отмечен в словарях как разговорный. Это значит, что его употребление вполне допустимо в непринужденной устной речи, но в остальных случаях (в официальной речи, на письме) следует использовать стилистически нейтральный глагол играть.
