Предпочтительно повторить предлог.
Да, в обоих примерах слово учитель стоит в винительном падеже. А вот, например, в словосочетании портфель учителя слово учитель стоит в форме родительного падежа.
Определить падеж очень просто: надо подставить слово первого (по школьной грамматике) склонения, потому что у слов первого склонения разные окончания в винительном и родительном падежах. Возьмем, например, слово учительница. Гордость за учительницу, уважать учительницу – винительный падеж. Но: сумка учительницы – родительный падеж.
Корректно: в каком? – в следующем.
Верен первый вариант.
Оба сочетания корректны. Чаще говорят: на руинах империи.
Запятая нужна. Правильно: отвечающих за соблюдение порядка.
Корректно: на кафедре педиатрии.
Как правило, пишется строчная буква.
Корректно: Какой, на Ваш взгляд, принцип построения карьеры наиболее сложно соблюсти?
Лучше: на Московской улице.
