Босу – краткое прилагательное в форме винительного падежа. В современном русском языке краткие прилагательные не изменяются по падежам, а в предложении выступают преимущественно в роли именной части сказуемого (девушка красива). Однако во фразеологических сочетаниях и фольклоре встречаются падежные формы кратких прилагательных (например: средь бела дня, на босу ногу, добру молодцу), это языковая архаика: в древнерусском языке краткие прилагательные склонялись.
Оба способа слогораздела возможны.
Кавычки не требуются.
Устойчивое употребление: молились за Божественной литургией.
Филенщик - тот, кто работает с филенкой.
Запятые расставлены верно.
В смысле "вот и я ответил бы так же"? Такое написание возможно, но в значении "я тоже" нужно писать слитно.
В любом случае ответа да или нет на такой вопрос недостаточно. Правильнее будет повторить глагол и ответить: Нет, не работает. Можно ответить проще: Не работает.
Правила написания безударных гласных в личных окончаниях глаголов см. здесь.
Тире, вероятно, нужно. А вот прописная буква в слове "новый" не нужна.
