Соответствовать правилам будет только дефисное написание ютуб-видеоконкурс. Однако при таком написании логические отношения между частями ютуб- и видео- оказываются несколько затемнены, поэтому мы всё же рекомендовали бы придумать иной, более внятный вариант наименования. 

Корректно: Рынок внедряет инновации там, где они оправданны и востребованы/востребованны. Оправданны — краткое прилагательное (нет зависимых слов). Вариативно написание кратких форм от востребованный ‘нужный, своевременный’ и ограниченный ‘имеющий небольшие познания, узкий кругозор, узкие интересы’ при отсутствии зависимых слов, так как контекст часто не дает возможности провести четкую границу между употреблениями этих форм в качестве прилагательных либо причастий. Например: его возможности ограниченны — его возможности ограничены (потенциально возможно дополнение чем-либо); эти специалисты востребованны — эти специалисты востребованы (потенциально возможны зависимые слова кем-либо, где-либо, при каких условиях).

Корректно по всему тексту писать Айболит без кавычек. В рамках рассказа Айболит становится прозвищем данного персонажа, и нет необходимости всякий раз подчеркивать кавычками условность этого наименования.

Многоточие уместно поставить в конце того предложения, которое выражает незаконченную мысль. Предложение, подводящее итог, можно вынести в отдельный абзац.

Корректно: «Надо за пять — добежим за пять» — читалось на разгорячённых от недавнего бега и мороза лицах; Через полчаса мы побежим штурмовать условно вражеский берег.

Слово кафе заимствовано из французского языка. В заимствованных словах перед звуком [э] может произноситься как мягкий согласный звук (пике, тетрадь, демократ, эпидемия), так и твердый (карате, варьете, пенсне, пюре, теннис, идентификация, дзен). В первом случае буква е обозначает мягкость предшествующего согласного, во втором — нет. Заимствованные слова имеют тенденцию к смягчению согласного перед [э], так как в русских словах перед [э] произносится только мягкий согласный. Например, раньше слово музей произносилось с сочетанием [зэ], а теперь с [з'э]. Произношение некоторых заимствованных слов сейчас колеблется. Так, произносятся вариативно и с твердым, и с мягким согласным перед [э] слова бассейн, сейф, кемпинг. Написание буквы е после согласных в заимствованных словах не препятствует их фонетическим изменениям в соответствии с закономерностями русской фонетики.

Спряжение в широком смысле – это изменение глагола по наклонениям, временам (в изъявительном наклонении), лицам (в настоящем и будущем времени), числам и  родам (в прошедшем времени и сослагательном наклонении).

Спряжение в узком смысле – это изменение исключительно по лицам и числам. Узкое понимание спряжения более традиционно и находит отражение в классификации глаголов по типам спряжения.  Именно при изменении по лицам и числам у глаголов появляется два разных набора личных окончаний, поэтому и спряжений два: первое (I) и второе (II).

Школьной грамматике (как и многим лингвистам) свойственно узкое понимание. Широкое – это скорее формообразование глагола. И кстати, в него логично включать образование форм причастий и деепричастий, поскольку все репрезентации глагола используют две формообразующие основы и разные аффиксы.   

Прилагательные изменяются по числам и в единственном числе по родам. Наречия по числам и родам не изменяются. Это помогает нам различать краткие прилагательные в форме среднего рода единственного числа и наречия на -о.

Определить часть речи можно только в конкретном предложении. Для проверки необходимо заменить подлежащее на слово другого рода или на слово в форме мн. числа. Форма краткого прилагательного в этом случае изменится, наречие останется без изменений.

Сравним предложения Это недостаточно быстро и Время летит быстро. В первом предложении изменение одного слова ведет к изменению другого, поэтому здесь слово быстро – прилагательное: Она недостаточно быстра; Эти недостаточно быстры. Во втором предложении таких изменений не происходит: Стрела летит быстро, Стрелы летят быстро. Значит, в этом предложении быстро – наречие.

Буквенные аббревиатуры инициального типа в первой стадии своего образования имеют род стержневого слова: ИГИЛ стало (средний род по опорному слову государство); корректно согласование и в женском роде, если родовым словом считать слово организация: ИГИЛ (террористическая организация) запрещена в России.

Но и мужской род совсем исключать нельзя. Ведь чем чаще употребляется аббревиатура, чем более привычной она становится, тем больше вероятность, что она оторвется от соответствующего полного наименования и приобретет свойства обычного слова с иной родовой характеристикой. Так произошло, например, с аббревиатурами МИД, ЗАГС, которые приобрели форму мужского рода, хотя опорные слова принадлежат к другому роду (министерство, запись). Поэтому согласование с ИГИЛ определений и сказуемых в мужском роде тем вероятнее, чем чаще и дольше будет употребляться это сочетание.