Оба варианта нормативны.
Правильно: об Антоне Павловиче Чехове.
Тире ставить не нужно.
Если имеется в виду к бабушке домой, то верно: заехали к бабушке.
Правильно: «Неужели он прав?» - задумался Сергей.
Названия торговых марок заключаются в кавычки и пишутся с большой буквы: Он сидел и попивал «Нескафе». Вряд ли здесь можно говорить о бытовом употреблении, позволяющем писать без кавычек строчными (ср.: выпил фанту), всё-таки название этой торговой марки в русском языке (в отличие от некоторых других языков) не стало нарицательным существительным.
Запятая нужна: Он повернулся проверить, не прибыл ли посыльный.
Запятая поставлена правильно.
В непринужденной разговорной речи такое употребление возможно. При этом на письме следует поставить запятую: До завтра, после обеда! В остальных случаях предложение следует переформулировать.
Запятая не нужна.
