Вы правы, правило часто формулируется так, что под него нельзя подвести слова с двумя приставками типа подызносить. Однако академические правила (то есть наиболее полные, детальные) учитывают данные слова. См. Полный академический справочник под ред. В. В. Лопатина, § 12, п. 2.

Учитель неправ. См., например, в http://www.philol.msu.ru/rus/lena-1/conson/mesto2.html [книге «Русская фонетика», авторы: Г. Е.Кедрова, Е. Л. Бархударова, О. В. Дедова, В. В. Потапов, Е. Б. Омельянова ] (внизу страницы).

В преддверии 9 Мая этот вопрос возникает всё чаще. Казалось бы, ответ на него дать несложно: справочник «Управление в русском языке» Д. Э. Розенталя (автора, пользующегося непререкаемым авторитетом среди редакторов, корректоров, журналистов, издательских работников) дает однозначную рекомендацию: ... лет чему (не чего!). Именно так: «не чего!» — с восклицательным знаком. Следовательно, правильно: 65 лет Великой Победе.

Но... В печатных и электронных СМИ, на открытках и плакатах, как правило, употребляется родительный падеж. Такое массовое употребление вряд ли может быть объяснено простой безграмотностью. Попробуем разобраться, в чём тут дело.

Необходимо сказать, что существует веский аргумент в пользу родительного падежа: именно такое управление — в названиях наград, учрежденных в юбилейные годы. Вот примеры из «Большой советской энциклопедии»: медаль «Двадцать лет победы в Великой Отечественной войне 1941–1945 гг.» (учреждена 7 мая 1965), медаль «Тридцать лет победы в Великой Отечественной войне 1941–1945 гг.» (учреждена 25 апреля 1975). Родительный падеж употребляется и в названиях наград, учрежденных в ознаменование 40-летия, 50-летия, 60-летия Победы; то же в названии последней по времени медали «65 лет Победы в Великой Отечественной войне 1941–1945 гг.», учрежденной указом Президента Российской Федерации от 4 марта 2009 года. (Сейчас слово Победа в значении 'победа в Великой Отечественной войне', как правило, пишется с прописной.)

Однако употребление родительного падежа выглядит более чем странно. Давайте задумаемся: что означает в русском языке конструкция «... года / лет чего-либо»? Она означает: «период времени, в течение которого длится, происходит что-либо»: два года разлуки (два года, в течение которых длится / длилась разлука), четыре года войны (4 года, в течение которых шла война), десять лет каторги (десять лет, в течение которых продолжалась каторга), тринадцать лет правления Александра III (тринадцать лет, в течение которых правил Александр III). Еще прекрасный пример: название романа «Сто лет одиночества». Таким образом, конструкция «65 лет Великой Победы» бессмысленна: она означает «65 лет, в течение которых продолжается / длится победа». Но победа не может «длиться»: она пришла в 1945 году, после этого мы только отмечаем ее годовщину.

Между тем не вызывает сомнений употребление дательного падежа после слова лет в сочетании с существительным, называющим лицо: десять лет Васе (не десять лет Васи), пятьдесят лет папе (не пятьдесят лет папы). Тогда что препятствует образованию сочетания 65 лет Великой Победе? Как возникла бессмысленная фраза 65 лет Великой Победы?

Дело в том, что сочетание десять лет Васе означает 'Васе исполнилось десять лет, Вася достиг возраста десяти лет'. Но глагол исполниться в значении 'о возрасте, сроке: достигнуть определенного предела' употребляется преимущественно с одушевленными существительными и личными местоимениями: исполниться кому; употребление с неодушевленными существительными менее вероятно (хотя словари фиксируют управление исполниться кому-чему), обычно значение 'о прошествии, истечении какого-либо срока, промежутка времени с момента чего-либо' выражается такой конструкцией: (исполнилось) ... лет с... Так образуется фраза (исполнилось) 65 лет со дня Великой Победы.

По-видимому, именно эта конструкция и стала источником неверного употребления. Происходит следующее: в грамматически правильной фразе 65 лет со дня Великой Победы слова со дня опускаются, получается сочетание 65 лет Великой Победы — сочетание, по сути, нелепое, абсурдное. Его возникновению, несомненно, способствует и другое, грамматически правильное, употребление родительного падежа — 65-летие Великой Победы.

Однако в самостоятельной конструкции «количественное числительное + слово лет + существительное» следует употреблять не только одушевленные существительные в дательном падеже (что очевидно), но и неодушевленные — в том же дательном падеже. Неслучайна у Д. Э. Розенталя рекомендация ... лет чему (Дитмар Эльяшевич не написал ... лет кому). И восклицательный знак после слов не чего, как бы говорящий: «Обратите внимание! Ошибка!» Грамматически правильно: 65 лет Великой Победе.

Вот выдержки из справочника Д. Э. Розенталя.

Если указание на автора или на источник цитаты следует непосредственно за ней, то оно заключается в скобки, причем точка после цитаты опускается и ставится после закрывающей скобки... Заглавие произведения отделяется от фамилии автора точкой и не заключается в кавычки; точкой же отделяются выходные данные... Первое слово указания на источник цитаты пишется в этом случае со строчной буквы, если не является собственным именем... Если указание на автора или на источник цитаты стоит не непосредственно за ней, а помещается ниже, то после цитаты ставится точка.

Указаний на необходимость курсива в этих случаях мы не нашли.

Таким образом, корректно: Они прошли весь белый свет и видели такое, что тебе и не увидеть никогда (В. П. Аксёнов). Правда, порой белыми воронами возникали в нём гостиничные постояльцы (К. Булычёв). У Пульхерии Ивановны была серенькая кошечка (по Н. В. Гоголю).

У Пульхерии Ивановны была серенькая кошечка.

По Н. В. Гоголю

Вопрос о принципах составления заданий ЕГЭ следует адресовать не нам. Но все же попробуем вступиться за авторов теста.

Необходимо различать морфемный разбор слова на синхронном уровне (в современном языке) и этимологический анализ. Исторически – да, в слове огурец мог быть выделен суффикс -ец. Но в современном русском языке слово огурец непроизводно (оно не образовано ни от какого другого русского слова с помощью суффикса -ец), его основа нечленима на синхронном уровне, и корень этого слова – огурец. Ср.: слово столица когда-то было образовано от слова стол, но в современном русском языке значение слова столица не может быть объяснено через значение слова стол, следовательно, они не связаны отношениями производности, поэтому в слове столица мы выделяем корень столиц-.

По-видимому, составители задания хотели проверить у учеников знание морфонологических чередований в словообразовании: при образовании слова огурчик от слова огурец происходит, во-первых, выпадение гласного, а во-вторых, чередование Ц – Ч, и в слове огурчик следует выделить не суффикс -чик, как это кажется на первый взгляд, а суффикс -ик.

Правильно, как Вы верно указываете, на берегу. В русском языке есть несколько существительных второго склонения с таким окончанием в предложном падеже со значением места. Ср.: о береге - на берегу, о носе - в носу, о саде - в саду. Падеж один и тот же, окончания (в зависимости от значения падежа) - разные.

Правил постановки ударений в фамилиях не существует. В каждом конкретном случае нужно сверяться со справочным изданием или узнавать ударение у носителя фамилии.

Если выбирать из предложенных Вами вариантов, то второй.

Такое сочетание корректно, употребимо в разговорной речи.