Да, слова уют и ютиться (также приют) этимологически родственные (однако в современном русском языке однокоренными они не являются). При этом слово ютиться – наиболее позднее образование из этой группы слов, с искусственно, произвольно извлеченным корнем, образовано оно, по-видимому от слова приют (т. е. слово приют было воспринято как слово с приставкой при- и корнем -ют, и этот «корень» послужил основой для создания слова ютиться).

Что касается происхождения слова приют, то его этимология до конца точно не установлена. Возможно, это слово восходит к тому же древнему индоевропейскому корню, что и слово приятель, –*priio-. От этого же корня образованы многие слова со значением 'любовь; дружба, привязанность' в других индоевропейских языках.

Рожон – острый кол, укрепленный в наклонном положении; длинная заостренная палка, которой погоняют волов. Согласно "Библейской энциклопедии", поговорка лезть на рожон "получила свое начало из того, что отставшие от стада волы часто натыкаются на рожон, т. е. подгоняются острием конца палки и, получая от того чувствительную боль, ускоряют ход за стадом. Вследствие этого пословица означает глупость и безумие людей, сопротивляющихся повелению власти или увещанию своей совести".

По другой версии, рожон - заостренный кол (рогатина), который употребяли при охоте на медведя. Разъяренный зверь лез на рожон - широкий нож, заточенный с обеих сторон, на длинной палке с перекладиной под лезвием, за которую медведь сам хватался.

См. также здесь.

Как раз наоборот: неправильно говорить кто крайний, надо: кто последний? Вот цитата из книги «Слово о словах» Л. В. Успенского:

Тысячи людей говорят: «Кто тут крайний?», подойдя к очереди за газетами... Это словоупотребление не может быть признано правильным и литературным. Если на вопрос: «В каком вагоне ты едешь?» вы ответите: «В крайнем!», у вас сейчас же потребуют разъяснить: от начала или от конца поезда, в первом или в последнем? У каждого ряда предметов по крайней мере два края, и слово «крайний» стало употребляться тут по нелепому недоразумению, ибо обычному слову «последний» в некоторых говорах народной речи придается неодобрительное значение - «плохой», «никуда не годный»: «Опоследний ты, братец мой, человек!»

Правило существует для конца слов. В конце иноязычных слов после как твердых, так и мягких согласных пишется буква е, напр.: алиготе, амбре, анжанте, антре, апплике, аутодафе, безе, буриме, бурре, галифе, глясе, гофре, декольте, де-юре, кабаре, канапе, карате, каре, консоме, купе, кураре, кюре, макраме, мачете, моралите, нотабене, падре, пенсне, пике, пирке, плиссе, подшофе, пюре, резюме, реноме, руте, саке, соте, суаре, сюзане, тире, удэге, форте, фрикасе, фуэте, экспозе, эмансипе, эссе (кроме удэ, мохэ).

О собственных именах в правилах русской орфографии говорится, что во многих именах иноязычного происхождения пишется буква э. Как передавать по-русски японское имя, нужно спросить у специалистов по передаче японских собственных имен. Мы можем только констатировать, что в текстах встречаются оба варианта. 

Вот цитата из справочника под ред. В. В. Лопатина (раздел "Знаки препинания при вставках").

Вставная конструкция, будучи самостоятельным предложением или частью текста (ряд предложений), относящаяся к абзацу (текст вставки после открывающей скобки начинается с прописной буквы), выделяется скобками. Перед скобкой, открывающей вставку, ставится необходимый по условиям контекста знак конца предложения. Перед закрывающей скобкой ставится знак, фиксирующий конец вставного предложения: ...Так будет дальновиднее... (У Маслова клокотало в горле, хотя говорит он тихо и даже вяло.) Ничего не изменилось, Екатерина Дмитриевна!... Второе: ваш ночной гость сейчас уйдет... Вы хотите спросить — почему я настаиваю на этом? Вот мой ответ... (Он запустил руку в боковой карман засаленного, с оборванными пуговицами, пиджака, вытащил плоский парабеллум и, держа его на ладони, показал Кате.)

В разных изданиях справочника Д. Э. Розенталя предложены разные объяснения. Так, в [Розенталь Д. Э., Джанджакова Е. В., Кабанова Н. П. Справочник по русскому языку: правописание, произношение, литературное редактирование. – 7-е изд. М., 2010] указано, что в слове трещотка есть суффикс -отк-. Этот суффикс упоминается и в полном академическом справочнике «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006). Так что большинство изданий – за выделение этого суффикса.

Детям, наверное, можно (и даже полезно) объяснить, что есть такая наука о языке – лингвистика, что в ней, как и в любой другой науке, существуют до конца не решенные вопросы, присутствуют разные точки зрения (в том числе на принципы морфемного анализа слова), ведутся острые дискуссии по некоторым вопросам.

Допустимы оба варианта: Я всегда хожу накрашенная и Я всегда хожу накрашенной. 
См. ходить в «Большом универсальном словаре русского языка»:

13.0. Находиться, пребывать в каком-л. состоянии, положении и т. п. Син. бегать.

Ходить в каком-л. виде (в каком-л. состоянии, в каком-л. настроении …). Кто-л. ходит раздетым / раздетый (голым / голый, босым / босой, голодным / голодный, весёлым / весёлый, грустным / грустный, пьяным / пьяный, довольным / довольный, подавленным / подавленный, беременной / беременная, убитый горем …)

В предложениях Я хожу ненакрашенная и Я хожу ненакрашенной Вы верно написали не с причастием. Если в предложении нет противопоставления (Пришла не накрашенная, а умытая) и у причастия нет зависимых слов (Из-за не накрашенной до конца актрисы съёмки отложили), не с причастием пишется слитно.

Вызывает сомнения употребление здесь слова патронаж.

Да, с конца прошлого века сочетания под патронажем кого-либо и под патронатом кого-либо употребляются равноправно в значении «под наблюдением, содействием и руководством кого-либо, чего-либо» (подробнее см. в «Словаре трудностей»). Но всё же слово патронаж (вне устойчивого сочетания быть под патронажем кого-либо) употребляется для обозначения формы оказания помощи лицу, а не учреждению. В «Толковом словаре русского языка» С. И. Ожегова и Н. Ю. Шведовой (М., 1997) слово патронаж зафиксировано только в одном значении – «регулярное оказание лечебно-профилактической помощи на дому новорожденным и некоторым категориям больных». В Гражданском кодексе РФ патронаж рассматривается как форма помощи совершеннолетнему дееспособному гражданину (и там, кстати, употребляется предлог над: патронаж над совершеннолетними дееспособными гражданами). Поэтому, на наш взгляд, лучше: оказание помощи детскому дому.

Существует ряд правил постановки знаков конца предложения внутри предложения. Так, в параграфе 5 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.) указано, что прописные буквы заменяются строчными, если перед перечислением стоят знаки двоеточие или тире (впереди имеется обобщение); в других же случаях фрагменты начинаются с прописной буквы. В параграфе 8 этого же справочника особо рассматривается передача прерывистого или затрудненного характера речи; в этом случае части предложения, разделённые многоточием, начинаются со строчной буквы. 

Впрочем, Ваш пример отличается от иллюстративных примеров из указанных параграфов справочника: здесь содержится конструкция под названием именительный темы. При постановке многоточия после именительного темы прописные буквы в дальнейшем предложении используются по общему правилу: А злопыхатели в комментариях... Мы же понимаем, откуда они берутся.

К сожалению, правила недостаточно четко регламентируют данную ситуацию. При прямой речи, стоящей после слов автора и заканчивающейся вопросительным знаком, восклицательным или многоточием, точка не ставится (см. оформление примеров в § 196 Правил 1956 года). Однако Ваш пример ближе к предложениям, в которых при разных знаках внутри кавычек и в конце всего предложения, знак конца предложения все же ставится. Приведем правило из Полного академического справочника под ред. В. В. Лопатина (§ 159): «если перед закрывающей кавычкой стоит знак вопросительный, восклицательный или многоточие (и на этом предложение заканчивается), то те же знаки, необходимые по условиям всего предложения, не повторяются после закрывающей кавычки; неодинаковые знаки (перед кавычкой и после кавычки) ставятся». Ср. примеры: 

     Вы читали роман «Кто виноват?»

       Неужели вы не прочитали роман «Что делать?»!