Да, здесь должно быть с прописной: Пушкинский Дом. Исправлено. Спасибо за замечание!
Запятыми разделяются однородные члены предложения, соединенные повторяющимися союзами. Знак препинания нужен.
См. «Словарь трудностей».
Тире не нужно.
Души не чаять в ком-чём - очень любить кого-, что-л. Выражение "в душе не чаю" литературной норме не соответствует.
Запятая после поэтому не нужна.
В подобных случаях название института следует писать в кавычках и не склонять: Учреждение Российской академии наук «Институт серпа и молота», директор Учреждения РАН «Институт серпа и молота».
Лучше перестроить предложение, например: Семья задает себе вопрос, станет ли их ребенок таким, когда подрастет.
Корректно раздельное написание.
Да, это вводное сочетание, запятая поставлена правильно.
