В обоих случаях верно: подпись.
Верно: Не допускать хранения горючих веществ под лестницами. Отвлеченные существительные (например, обозначающие действие) при переходных глаголах с отрицанием употребляются в родительном падеже.
Оба варианта возможны. В литературной речи предпочтительно: черкни.
Мужскую фамилию Пак нужно склонять.
Пара - обычно только о супружеской паре или о парных предметах. Корректно: вышли две сотрудницы, вышло несколько сотрудниц.
Пунктуация верна, дополнительные знаки препинания не требуются.
Да оба слова пишутся с большой буквы: Лосиный Остров.
В данном случае тире не требуется, однако его постановка возможна в интонационных и выделительных целях.
Часть предложения после запятой надо править, по-русски не говорят дружба оказалась под испытанием. Можно сказать, что дружба подверглась серьезному испытанию.
