Запятая не ставится. Правило звучит следующим образом.

Не ставится запятая в цельных фразеологизированных сочетаниях с повторяющимися союзами и... и, ни... ни (они соединяют слова с противопоставляемыми значениями): и день и ночь, и стар и млад, и смех и горе, и там и сям, и то и се, и туда и сюда, ни два ни полтора, ни дать ни взять, ни сват ни брат, ни взад ни вперед, ни дна ни покрышки, ни то ни се, ни стать ни сесть, ни жив ни мертв, ни да ни нет, ни слуху ни духу, ни себе ни людям, ни рыба ни мясо, ни так ни сяк, ни пава ни ворона, ни шатко ни валко, ни тот ни этот и др. То же при парных сочетаниях слов, когда третьего не дано: и муж и жена, и земля и небо.

Перенос ударения на предлог возможен тогда, когда сочетание существительного с предлогом входит в состав устойчивого оборота или когда оно выступает в роли обстоятельства. Когда же существительное называет объект, на который направлено действие, то есть когда оно является дополнением, ударение на предлог не переносится. Например:

поверить на́ слово, но: обратить внимание на сло́во «заря»;
он не чист на́ руку, но: посмотреть на ру́ку;
взять грех на́ душу, но: доход на ду́шу населения.

Фразеологизмы обладают устойчивостью грамматической формы. Они обладают также устойчивостью места ударения. Произнесение данных фразеологизмов с ударением на существительном, а не на предлоге является ошибкой.

В предложениях же, приведенных в вопросе, в сочетаниях по лесу, по столу, по двору возможны варианты ударения, ни один из которых нельзя считать ошибочным. Выбор варианта может зависеть от контекста.

Буква Ы в слове изымать пишется в соответствии с общим правилом: при сочетании приставки, оканчивающейся на согласный, с корнем или с другой приставкой, которые начинаются с и, пишется, согласно c произношением, ы. Однако в слове взимать ы не произносится, произносится и, поэтому и пишется и. Таким образом, здесь написание полностью отражает произношение. Это один из немногих случаев, когда орфограмма основана на фонетическом принципе (как слышится, так и пишется).

1. Обособление не нужно.

2. Здесь обособление верно.

Полагаем, что возможны варианты: Эти два брата на славу постарались для своих (в кавычках) девушек или Эти два брата на славу постарались для «своих» девушек.

Необходимо двоеточие: Он был твердо убежден: рисунок должен взывать больше к эмоциям, чем к разуму. Двоеточие ставится в бессоюзном сложном предложении, если вторая часть имеет изъяснительное значение (между частями предложения можно вставить слово что).

Да, можно.

Большой толковый словарь

Формы в «Викисловаре» скопированы из «Грамматического словаря русского языка» А. А. Зализняка. Такие формы есть, но они, конечно, либо малоупотребительны, либо практически не употребительны.

Тире уместно. В сложноподчиненном предложении может ставиться тире при усилении вопросительного характера предложения для подчеркивания необычности расположения придаточной части перед главной.

Мыть руки с мылом = мыть руки водой с использованием дополнительно мыла. Мыть руки спиртом = мыть руки только спиртом (без воды).