Лучше (для падежного разграничения): завоевал две золотых медали.
Не с глаголами пишется раздельно. Правильно: не выспалась, не спеша.
Мы тоже не знаем примера такого сочинения.
Интонационное тире здесь возможно.
Тире нужно, так как второе предложение неполное.
Это наречие. Но и "след" существительного тоже есть, ср.: Холодной ночью...
Запятые стоят правильно.
Оба варианта верны стилистически нейтральны. Согласно словарям, одно из значений слова сильно — 'очень'.
Тире будет уместно, если требуется логически выделить подлежащее это: Для меня (именно) это — отдых, расслабление. Если такое выделение не требуется, тире не нужно. См. о подобных случаях «Справочник по русскому языку. Пунктуация» Д. Э. Розенталя, параграф 5.7.
Вы верно мыслите. Оба существительных можно найти в «Большом академическом словаре русского языка», издаваемом Институтом лингвистических исследований РАН.
