Это слово еще не освоено русским языком, оно имеет узкую сферу употребления, поэтому вопрос о его кодификации пока не стоит. Говорить о правильном написании по отношению к такому слову преждевременно. В соответствии с этимологией его можно писать с двойной согласной — гейммод. Но так как его вторая часть (мод) в русском языке самостоятельно не употребляется, то слово может принять письменную форму в соответствии со звучанием без удвоенной согласной — геймод. На стыке иноязычных морфем иногда происходит упрощение групп согласных. Интересно, что, помимо этого слова, есть еще одно близкое по звучанию «игровое слово», которое в соответствии с правилами следует писать гейм-мод (дополнение к игре). Дефисное написание обусловлено тем, что вторая часть мод в значении 'дополнение, расширение' употребляется самостоятельно (см. описание части гейм в информационно-поисковой системе «Орфографическое комментирование русского словаря»). Если оба слова закрепятся в языке, то, возможно, сработает дифференциальный принцип русской орфографии и слова станут писать так, чтобы они лучше различались: геймод и гейм-мод.
Начнем со второго вопроса. Мы не избираем вопросы, "достойные" ответа. Мы не выполняем домашние задания учеников и студентов, также мы не отвечаем на вопросы, не относящиеся к нашей компетенции.
И ответ на первый вопрос. Написание Э или Е в личных именах и фамилиях не регламентируется правилами правописания. Если имя фиксируется в энциклопедических или иных заслуживающих доверия источниках, то на такую фиксацию и нужно опираться при написании. Кроме этого, есть общие рекомендации по транслитерации иностранных имен и фамилий, не только английских, но эти рекомендации могут не соблюдаться, если в практике письма укоренилось альтернативное написание. Достаточно подробное, но, к сожалению, уже ставшее букинистической редкостью издание - книга Р. С. Гиляревского и Б. А. Старостина "Иностранные имена и названия в русском тексте" (М., 1985) - в Интернете есть лишь пиратские копии этой книги. Также см.: Р. А. Лидин. Иностранные фамилии и личные имена. Практика транскрипции на русский язык. Справочник. (2006).
Орфографической ошибки нет, сочетание по выходе написано правильно. Такой оборот придает речи канцелярский оттенок, поэтому он не всегда уместен. Грамматически предложение также небезупречно, поэтому его лучше перестроить, например, так: Продавец и покупатель оформили договор. После того как они вышли из банка, и деньги, и машина оказались у мошенника.
Формы будешь, состаришься имеют безударные окончания, поэтому спряжение определяется по инфинитиву: быть, состариться. Первый инфинитив заканчивается не на ить, значит он относится к I спряжению, второй – на ить, значит ко II спряжению.
Кавычки не нужны, слово давно фиксируется словарями (см. ресурс «Проверка слова»).
При наличии паузы тире ставится: Во вложении — выписка по договору. Если паузы нет, можно оставить без тире.
Вариант склонения с выпадением гласного возможен: Корня, Корню и т. д. Однако фамилии выполняют юридическую функцию, поэтому их рекомендуют склонять, сохраняя основу неизменной: Кореня, Кореню и т. д. В документах лучше придерживаться одного варианта.
Да, их можно найти в библиотеках. Некоторые ссылки можно найти в поисковых системах по запросам «дореформенная орфография», «дореволюционная орфография».
