Слово "прошение" пишется с маленькой буквы. С прописной буквы "Прошение" может писаться, если это первое слово заголовка документа или если имеется в виду конкретное прошение, ставшее наименованием.
Это сочетание пишется строчными.
В слове лазер согласный произносится твердо: ла[зэ]р.
В слове террор возможно мягкое (предпочтительно) и твердое произношение согласного, обозначаемого буквой т.
Это слово пишется с прописной буквы: Заволжье.
Верно: Поздравляю с днем Восьмое марта!
Написание Дом Союза художников корректно в том случае, если речь идет о здании, в котором располагается отделение Союза художников. Если речь идет о жилом здании, построенном для членов Союза художников, то корректно: дом Союза художников.
В качестве первого слова в официальном названии правительство пишется с прописной: Правительство Российской Федерации, Правительство Челябинской области. Вне официального названия слово правительство пишется со строчной буквы, как и слова счетный и палата.
Аббревиатуру НДРЙ «Словарь сокращений русского языка» (Д. И. Алексеев, И. Г. Гозман, Г. В. Сахаров) рекомендует читать [эн-дэ-эр-и́й]. Произнесение аббревиатур с буквой й в целом подчиняется общим правилам. Слова, вызывающие затруднение, нужно проверять по словарям.
Если слово республики стоит в форме множественного числа, корректно написание со строчной буквы: Донецкая и Луганская народные республики.