Правильно: Союз дизайнеров России. В названиях организаций с большой буквы пишется первое слово и входящие в состав названия имена собственные.
Оба варианта возможны. См. подробнее в «Письмовнике».
Возможны варианты написания, но лучше - раздельно.
Словарная фиксация: официальный дистрибьютор фирмы. При этом сочетание дистрибьютор товаров также не является ошибочным.
Уменьшительно-ласкательная форма имени: Танечка. Поэтому верно: Танечкин мяч.
Правильно: Республика Татарстан.
См. ответ на вопрос № 271751.
Правилен первый вариант. Определение должно согласовываться с определяемым словом, а не с приложением при нем. Чтобы избежать грамматической неловкости, можно перестроить предложение.
Если это официальное название организации, то правильно: Центр досуга.
Корректно: заведующего (чем?) Изобильненским филиалом.
