Верно: Стала относиться к себе по-другому.
Префиксы пишутся с глаголами слитно. При этом дефис может использоваться в выразительных целях, например для выделения (смыслового и произносительного) какой-либо части слова (Сто — невест тебе! Все — с запястьями! Без-ответственно. Бес-препятственно (М. Цветаева); И чтобы не впустил он в своё сердце суетного, мелкого чувства, а только со-жаление, со-болезнование, только со-страдание (из газеты)) или для подчеркивания необычности образования (Предельно явив свой край и век — беспредельно являет всё, что не-край и не-век: навек (М. Цветаева)).
Да, под горку то же, что с горки, т. е. вниз.
Кавычки не требуются.
Сочетание имеет под собой цель трудно признать корректным. Лучше сказать так: Цель этой операции – наведение порядка...
Правило простое: под ударением всегда пишется та буква, которая слышится. Ударная позиция является сильной для гласных.
Запятая не нужна.
