Да, слова зря и зреть 'видеть, глядеть' этимологически родственные. Зря по происхождению – деепричастие настоящего времени от зреть (т. е. буквально зря – 'глядя'). Это слово (книжное по происхождению) получило новое значение в народной речи. Н. М. Шанский предполагает, что современное значение зря 'напрасно' возникло из оборота делать на зря 'делать на глазок, как следует не рассмотрев'.
Возможны варианты слогоделения: ша-пка, шап-ка.
Общепринятая формулировка: заявление на отпуск.
Верно: работает в округе.
Возможны оба варианта, но они различаются по значению. На квартире говорят, когда имеют в виду съемное или временное жилье, например: Жил у тетки на квартире.
См. ответ на вопрос № 270766.
Не нужен пробел: по-турецки.
Верно: ходатайство о чём-либо, поэтому: ходатайство об обучении.
Правильно. А что смущает в этой фразе? Может быть, не на рукаве, а на манжете?
