В словарях географических названий, энциклопедиях пишут Хамельн, см., например: «Словарь географических названий зарубежных стран» (М., 1986), электронное издание «Большой российской энциклопеди». Но крысолов все же гамельнский, из Гамельна. Эти названия вошли в русский общекультурный фонд и менять их, разрывать культурную традицию не стоит. А. А. Зализняк, придерживавшийся в выборе между традиционным и новым вариантами произношения (часто отражающимися в написании) «некоторого умеренного общего уклона в сторону традиционных решений», в приложении к «Грамматическому словарю русского языка» (М., 2003 и след.) дает название города в форме Гамельн. Но выбор между г и х в этом названии — не единственная орфографическая проблема. В произведениях русских поэтов, обращавшихся к легенде о крысолове, часто встречаются написания с двумя м. Так, поэма Марины Цветаевой «Крысолов» начинается стоками: 

Стар и давен город Гаммельн,
Словом скромен, делом строг,
Верен в малом, верен в главном:
Гаммельн — славный городок! 

Но удвоение м все же не оправдано ничем (нем. Hameln), поэтому его обычно сохраняют только в изданиях поэтических произведений как элемент авторской орфографии.

В названиях учреждений, организаций, обществ и т. д. с большой буквы пишется первое слово названия и входящие в его состав имена собственные. Правильно: Российский детский фонд, Благотворительное общественное движение «Название», Международный благотворительный фонд «Название» (если слова Благотворительное  и Международный начинают собой официальные названия организаций).

Если названия написаны кириллицей, то они пишутся в кавычках с большой буквы. Если латиницей - без кавычек.

Верно: кораллово-красные.

Заголовки к текстам (в том числе к диктантам) не заключаются в кавычки. 

Да, совершенно верно.

В Вашем примере уместно написание со строчной буквы. Прописная используется, если это официальное название парка (и в официальном документе, в иных случаях также корректно со строчной).