Корректно слитное написание.
Написание проверяется в словарном порядке. Словари рекомендуют писать через дефис.
Написание прописными и через дефис корректно в названиях.
Наличие формы в И объясняется следующим. Город Санкт-Петербург был основан как крепость Санктпитербурх (в честь святого Петра, небесного покровителя императора). Название было дано Петром I. Среди вариантов, встречающихся в письмах Петра Великого: Санктъпетерсъбурк (1703), Санктпитербурх (1703), Питербурх (1706), Санктпетерзбурк (1710); позже преобладают варианты с -Питер-: Санкт-ПитерБург (1714), Санктъ Питербурх (1720). В газете «Ведомости» чаще упоминается в форме Санктъпитербурх, и только с июля 1724 г. вместо Питер- начинают постоянно печатать Петер-. Очевидно, от форм с И и было образовано сокращенное Питер.
Дефис ставится для выделения приложения: трое друзей-метростроевцев.
Корректно через дефис: кабельно-релейный.
Как правило, двусловные иноязычные географические наименования пишутся по-русски через дефис, ср.: New York = Нью-Йорк. Остальные неоднословные наименования передаются русскими буквами в раздельном написании. Но единого правила на этот счет нет.
Произносится [р'е].
Следует писать раздельно: культурно обусловленный.
1. Правильно писать через дефис. 2. Верно: подымпульс.